Rechnen mit mechanischen Rechenmaschinen
In dieser Anleitung wird beschrieben, wie mit mechanischen Rechenmaschinen des Odhner-Systems gerechnet werden kann.
Hierzu zählen nicht nur die Original-Odhner-Maschinen, sondern z.B. auch Brunsviga-Rechenmaschinen der Modelle A, B, C, D, E, F, M, MA, MB und MD; sowie auch Maschinen zahlreicher anderer Hersteller.
Hierzu zählen nicht nur die Original-Odhner-Maschinen, sondern z.B. auch Brunsviga-Rechenmaschinen der Modelle A, B, C, D, E, F, M, MA, MB und MD; sowie auch Maschinen zahlreicher anderer Hersteller.
- Bauteile der Rechenmaschine
- Erläuterung der Rechenoperationen
- Addition
- Subtraktion
- Multiplikation
- Division
- Quadratwurzel berechnen (Toeplersches Verfahren)
- Videos
Bauteile der Rechenmaschine
- Ein Drehen der Kurbel im Uhrzeigersinn (K+) addiert die Zahl im Einstellwerk ins Rechenwerk.
- Ein Drehen der Kurbel gegen den Uhrzeigersinn (K-) subtrahiert die Zahl im Einstellwerk vom Rechenwerk.
- Wenn der Hebel zum Verschieben des Schlittens nach unten gedrückt ist, kann der Schlitten seitlich verschoben werden.
- Über die verschiebbaren Stellentrenner im Rechenwerk können nach Bedarf z.B. das Dezimalkomma oder Tausenderstellen zur besseren Ablesbarkeit eingestellt werden.
- Vor jeder neuen Rechnung müssen das Rechenwerk und das Umdrehungszählwerk gelöscht und die Einstellhebel auf 0 gestellt werden. Der Schlitten ist nach links in die Normalposition zu fahren.
Kapazität der Rechenmaschine
Unter Kapazität der Rechenmaschine versteht man das Zahlenverhältnis der Stellenanzahlen des
Einstellwerks, Rechenwerks und des Umdrehungszählwerks.
Die Kapazität wird in der Form EW x RW x UZW angegeben.
Die Kapazität wird in der Form EW x RW x UZW angegeben.
Die oben abgebildete Brunsviga Modell B hat die Kapazität 9 x 13 x 8.
Erläuterung der Rechenoperationen
Kurbel
| Kurbel | Bedeutung |
| 1x + | Kurbel einmal im Uhrzeigersinn drehen (Addition) |
| 1x - | Kurbel einmal gegen den Uhrzeigersinn drehen (Subtraktion) |
Rechenwerk-Schlitten
| Schlitten | Bedeutung |
| ←1 | Schlitten eine Position nach links verschieben |
| 1→ | Schlitten eine Position nach rechts verschieben |
| |← | Schlitten ganz nach links fahren (Grundposition) |
| →| | Schlitten ganz nach rechts fahren |
| |EW |RW | Einstellwerk und Rechenwerk linksbündig übereinander ausrichten |
Addition
Aufgabe 1
| Es soll die Summe 75.384 + 6.278 + 9.507 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellwerk | Kurbel | Rechenwerk | UZW |
| (links) | 000075.384 | 1x + | 0000000075.384 | 00000001 |
| 000006.278 | 1x + | 0000000081.662 | 00000002 | |
| 000009.507 | 1x + | 0000000091.169 | 00000003 | |
| Ergebnis: | 91.169 | |||
Aufgabe 2
| Es soll die Summe 1521,16 + 3,5469 + 819,3 + 15,453 + 6875,82974 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellwerk | Kurbel | Rechenwerk | UZW |
| (links) | 1521,16000 | 1x + | 00001.521,16000 | 00000001 |
| 0003,54690 | 1x + | 00001.524,70690 | 00000002 | |
| 0819,30000 | 1x + | 00002.344,00690 | 00000003 | |
| 0015,45300 | 1x + | 00002.359,45990 | 00000004 | |
| 6875,82974 | 1x + | 00009.235,28964 | 00000005 | |
| Ergebnis: | 9.235,28964 | |||
Subtraktion
Aufgabe 3
| Es soll die Differenz 2.765.930 - 2.748.693 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellwerk | Kurbel | Rechenwerk | UZW |
| (links) | 002765930 | 1x + | 0000002765.930 | 00000001 |
| 002748693 | 1x - | 0000000017.237 | 00000000 | |
| Ergebnis: | 17.237 | |||
Multiplikation
Aufgabe 4
| Es soll das Produkt 3600 x 24 x 365 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellwerk | Kurbel | Rechenwerk | UZW |
| (links) | 000003600 | 4x + | 0000000014.400 | 00000004 |
| 1→ | 000003600 | 2x + | 0000000086.400 | 00000024 |
| ←links | 000086400 | (-) | löschen | löschen |
| (links) | 000086400 | 5x + | 0000000.432.000 | 00000005 |
| 1→ | 000086400 | 6x + | 0000005.616.000 | 00000065 |
| 1→ | 000086400 | 3x + | 0000031.536.000 | 00000365 |
| Ergebnis: | 31.536.000 (Sekunden pro Jahr) | |||
Aufgabe 5
| Es soll das Produkt 187 x 4,689 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellwerk | Kurbel | Rechenwerk | UZW |
| (links) | 000004,689 | 7x + | 0000000032,823 | 00000007 |
| 1→ | 000004,689 | 8x + | 0000000407,943 | 00000087 |
| 1→ | 000004,689 | 1x + | 0000000876,843 | 00000187 |
| Ergebnis: | 876,843 | |||
Aufgabe 6
| Es soll das Produkt 521,735 x 0,25 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellwerk | Kurbel | Rechenwerk | UZW |
| (links) | 000521,735 | 5x + | 00000026,08675 | 00000005 |
| 1→ | 000521,735 | 2x + | 00000130,43375 | 00000025 |
| Ergebnis: | 130,43375 | |||
| Die beiden multiplizierten Zahlen haben zusammen 5 Nachkommastellen. Deshalb hat auch das Ergebnis 5 Nachkommastellen. | ||||
Division
Bei der Division wird zunächst der Dividend linksbündig im Rechenwerk eingestellt und dann der Divisor im Einstellwerk eingetragen und zwar an der Stelle, wo er kleiner
oder gleich der entsprechenden führenden Stellen im Rechenwerk ist. Dann wird der Dividend im Rechenwerk Stelle für Stelle ausgelöscht, solange bis die aktuelle
Stelle kleiner als der Divisor ist. Dann wird der Schlitten eins nach links verschoben und in der gleichen Weise mit der nächsten Dezimalstelle weiterverfahren.
Zum Schluss steht das Ergebnis der Division im Umdrehungszählwerk.
Aufgabe 7
| Es soll die Division 277204 : 37 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellung | Kurbel | Resultat | UZW |
| |← | alles löschen | ____000000000 0000000000000 | 00000000 | |
| 4→ | 277204|000 000000|0000000 | 1x + | 277204|000 277204|0000000 | 00010000 löschen! |
| 3→ | 000037000| ___277204|0000000 | 7x – | 000037000| ___018204|0000000 | 70000000 |
| ←1 | 00003700|0 __018204|0000000 | 4x – | 00003700|0 __003404|0000000 | 74000000 |
| ←1 | 0000370|00 _003404|0000000 | 9x – | 0000370|00 _000074|0000000 | 74900000 |
| ←1 | 000037|000 000074|0000000 | 2x – | 000037|000 000000|0000000 | 74920000 |
| Ergebnis | 277204 : 37 = 7492 | |||
Aufgabe 8
| Es soll die Division 254 : 19 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellung | Kurbel | Resultat | UZW |
| |EW |RW | 254000000 0000000000000 | 1x + | 254000000 2540000000000 | 00010000 löschen! |
| →| | 000190000 ___2540000000000 | 1x - | 000190000 ___0640000000000 | 10000000 |
| ←1 | 000190000 __0640000000000 | 1x - | 000190000 __0450000000000 | 11000000 |
| 000190000 __0450000000000 | 1x - | 000190000 __0260000000000 | 12000000 | |
| 000190000 __0260000000000 | 1x - | 000190000 __0070000000000 | 13000000 | |
| ←1 | 000190000 _0070000000000 | 1x - | 000190000 _0051000000000 | 13100000 |
| 000190000 _0051000000000 | 1x - | 000190000 _0032000000000 | 13200000 | |
| 000190000 _0032000000000 | 1x - | 000190000 _0013000000000 | 13300000 | |
| ←1 | 000190000 0013000000000 | 1x - | 000190000 0011100000000 | 13310000 |
| 000190000 0011100000000 | 1x - | 000190000 0009200000000 | 13320000 | |
| 000190000 0009200000000 | 1x - | 000190000 0007300000000 | 13330000 | |
| 000190000 0007300000000 | 1x - | 000190000 0005400000000 | 13340000 | |
| 000190000 0005400000000 | 1x - | 000190000 0003500000000 | 13350000 | |
| 000190000 0003500000000 | 1x - | 000190000 0001600000000 | 13360000 | |
| ←1 | _000190000 0001600000000 | 1x - | _000190000 0001410000000 | 13361000 |
| _000190000 0001410000000 | 1x - | _000190000 0001220000000 | 13362000 | |
| _000190000 0001220000000 | 1x - | _000190000 0001030000000 | 13363000 | |
| _000190000 0001030000000 | 1x - | _000190000 0000840000000 | 13364000 | |
| _000190000 0000840000000 | 1x - | _000190000 0000650000000 | 13365000 | |
| _000190000 0000650000000 | 1x - | _000190000 0000460000000 | 13366000 | |
| _000190000 0000460000000 | 1x - | _000190000 0000270000000 | 13367000 | |
| _000190000 0000270000000 | 1x - | _000190000 0000080000000 | 13368000 | |
| ←1 | __000190000 0000080000000 | 1x - | __000190000 0000061000000 | 13368100 |
| __000190000 0000061000000 | 1x - | __000190000 0000042000000 | 13368200 | |
| __000190000 0000042000000 | 1x - | __000190000 0000023000000 | 13368300 | |
| __000190000 0000023000000 | 1x - | __000190000 0000004000000 | 13368400 | |
| ←1 | ___000190000 0000004000000 | 1x - | ___000190000 0000002100000 | 13368410 |
| ___000190000 0000002100000 | 1x - | ___000190000 0000000200000 | 13368420 | |
| ←1 | ____000190000 0000000200000 | 1x - | ____000190000 0000000010000 | 13368421 |
| Ergebnis | 254 : 19 = 13,368421 | |||
Quadratwurzel berechnen (Toeplersches Verfahren)
Quadratwurzeln können auf mechanischen Rechenmaschinen des Systems Odhner
mit dem Toeplerschen Verfahren berechnet werden,
das August Toepler (1836–1912)
speziell für mechanische Rechenmaschinen entwickelt hat.
Dieses Verfahren beruht darauf, dass sich jede ganzzahlige Quadratzahl als Summe ungerader Zahlen berechnen lässt:
Dieses Verfahren beruht darauf, dass sich jede ganzzahlige Quadratzahl als Summe ungerader Zahlen berechnen lässt:
1² = 1
2² = 1 + 3 = 4 = 2 · 2
3² = 1 + 3 + 5 = (1 + 5) + 3 = 6 + 3 = 2 · 3 + 3 = 3 · 3
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 7) + (3 + 5) = 2 · 8 = 4 · 4
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 2 · 10 + 5 = 4 · 5 + 5 = 5 · 5
2² = 1 + 3 = 4 = 2 · 2
3² = 1 + 3 + 5 = (1 + 5) + 3 = 6 + 3 = 2 · 3 + 3 = 3 · 3
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 7) + (3 + 5) = 2 · 8 = 4 · 4
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 2 · 10 + 5 = 4 · 5 + 5 = 5 · 5
Für das Verfahren ist auch wichtig, dass je zwei Stellen der Quadratzahl
je einer Stelle der Grundzahl entsprechen, denn
10² = 100
√100 = 10
√100 = 10
Aus diesem Grund wird die aufzulösende Quadratzahl in Zweiergruppen
von Ziffern aufgeteilt. Jede Zweiergruppe entspricht einer Stelle der Grundzahl. Dabei ist entscheidend,
dass die Aufteilung in Zifferngruppen von rechts her vorgenommen wird.
Das heißt, bei einer ungeraden Anzahl Stellen steht die vorderste Ziffer alleine:
√804609 → 80|46|09
√2 → 2
√20 → 20
√200 → 2|00
√2000 → 20|00
√2 → 2
√20 → 20
√200 → 2|00
√2000 → 20|00
√200 ergibt die gleiche Ziffernfolge wie √2, lediglich um eine Stelle versetzt.
Ebenso ergibt √2000 die gleiche Ziffernfolge wie √20, auch um eine Stelle versetzt.
√2 und √20 ergeben dagegen völlig unterschiedliche Ziffernfolgen:
Ebenso ergibt √2000 die gleiche Ziffernfolge wie √20, auch um eine Stelle versetzt.
√2 und √20 ergeben dagegen völlig unterschiedliche Ziffernfolgen:
√2 = 1,41421356237
√200 = 10 · √2 = 14,1421356237
√20 = 4,472135955
√2000 = 10 · √20 = 44,72135955
√200 = 10 · √2 = 14,1421356237
√20 = 4,472135955
√2000 = 10 · √20 = 44,72135955
Beim Toeplerschen Verfahren wird jede Zifferngruppe schrittweise durch Subtraktion der nächsten
anstehenden ungeraden Zahl schrittweise ausgelöscht, bis die nächste anstehende ungerade Zahl größer
als der verbliebene Rest der aktuellen Stelle ist. Wenn dann noch ein Rest übrig ist, wird
die bisher gefundene Ergebnisziffernfolge mit 20 multipliziert und 1 dazu gezählt, was die erste
ungerade Zahl zur Auslöschung der nächsten Zifferngruppe ergibt.
Das ganze hört sich schwieriger an, als es tatsächlich ist, wie die folgenden Beispiele zeigen.
Mit einiger Übung lässt es sich recht schnell und sicher auf einer mechanischen Rechenmaschine durchführen
(siehe auch im Video unten).
Mit einiger Übung lässt es sich recht schnell und sicher auf einer mechanischen Rechenmaschine durchführen
(siehe auch im Video unten).
Aufgabe 9
| Es soll die Quadratwurzel √804609 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellung | Kurbel | Resultat | UZW |
| |EW |RW | 804609|000 000000|0000000 | 1x + | 804609|000 804609|0000000 | 00010000 löschen! |
| →| | 000|01|00|00| ___|80|46|09|0000000 | 1x - | 000|01|00|00| ___|79|46|09|0000000 | 10000000 |
| 000|03|00|00| ___|79|46|09|0000000 | 1x - | 000|03|00|00| ___|76|46|09|0000000 | 20000000 | |
| 000|05|00|00| ___|76|46|09|0000000 | 1x - | 000|05|00|00| ___|71|46|09|0000000 | 30000000 | |
| 000|07|00|00| ___|71|46|09|0000000 | 1x - | 000|07|00|00| ___|64|46|09|0000000 | 40000000 | |
| 000|09|00|00| ___|64|46|09|0000000 | 1x - | 000|09|00|00| ___|55|46|09|0000000 | 50000000 | |
| 000|11|00|00| ___|55|46|09|0000000 | 1x - | 000|11|00|00| ___|44|46|09|0000000 | 60000000 | |
| 000|13|00|00| ___|44|46|09|0000000 | 1x - | 000|13|00|00| ___|31|46|09|0000000 | 70000000 | |
| 000|15|00|00| ___|31|46|09|0000000 | 1x - | 000|15|00|00| ___|16|46|09|0000000 | 80000000 | |
Die nächste Zahl 17 wäre größer als die 16 im Rechenwerk. Deshalb ist die erste Dezimalstelle fertig berechnet.
Die Zahl 8 im Zählwerk mit 20 multiplizieren und 1 dazuzählen:
8 · 20 + 1 = 161
→ im Einstellwerk einstellen und dann den Schlitten eine Position nach links verschieben
Die Zahl 8 im Zählwerk mit 20 multiplizieren und 1 dazuzählen:
8 · 20 + 1 = 161
→ im Einstellwerk einstellen und dann den Schlitten eine Position nach links verschieben
| Schlitten | Einstellung | Kurbel | Resultat | UZW |
| ←1 | 00|01|61|00|0 __|16|46|09|0000000 | 1x - | 00|01|61|00|0 __|14|85|09|0000000 | 81000000 |
| 00|01|63|00|0 __|14|85|09|0000000 | 1x - | 00|01|63|00|0 __|13|22|09|0000000 | 82000000 | |
| 00|01|65|00|0 __|13|22|09|0000000 | 1x - | 00|01|65|00|0 __|11|57|09|0000000 | 83000000 | |
| 00|01|67|00|0 __|11|57|09|0000000 | 1x - | 00|01|67|00|0 __|09|90|09|0000000 | 84000000 | |
| 00|01|69|00|0 __|09|90|09|0000000 | 1x - | 00|01|69|00|0 __|08|21|09|0000000 | 85000000 | |
| 00|01|71|00|0 __|08|21|09|0000000 | 1x - | 00|01|71|00|0 __|06|50|09|0000000 | 86000000 | |
| 00|01|73|00|0 __|06|50|09|0000000 | 1x - | 00|01|73|00|0 __|04|77|09|0000000 | 87000000 | |
| 00|01|75|00|0 __|04|77|09|0000000 | 1x - | 00|01|75|00|0 __|03|02|09|0000000 | 88000000 | |
| 00|01|77|00|0 __|03|02|09|0000000 | 1x - | 00|01|77|00|0 __|01|25|09|0000000 | 89000000 |
Die nächste Zahl 179 wäre größer als die 125 im Rechenwerk. Die zweite Stelle ist jetzt fertig berechnet.
Die Zahl 89 im Zählwerk mit 20 multiplizieren und 1 dazuzählen:
89 · 20 + 1 = 1781
→ im Einstellwerk einstellen und dann den Schlitten eine Position nach links verschieben
Die Zahl 89 im Zählwerk mit 20 multiplizieren und 1 dazuzählen:
89 · 20 + 1 = 1781
→ im Einstellwerk einstellen und dann den Schlitten eine Position nach links verschieben
| Schlitten | Einstellung | Kurbel | Resultat | UZW |
| 0|00|17|81|00 _|01|25|09|0000000 | 1x - | 0|00|17|81|00 _|01|07|28|0000000 | 89100000 | |
| 0|00|17|83|00 _|01|07|28|0000000 | 1x - | 0|00|17|83|00 _|00|89|45|0000000 | 89200000 | |
| 0|00|17|85|00 _|00|89|45|0000000 | 1x - | 0|00|17|85|00 _|00|71|60|0000000 | 89300000 | |
| 0|00|17|87|00 _|00|71|60|0000000 | 1x - | 0|00|17|87|00 _|00|53|73|0000000 | 89400000 | |
| 0|00|17|89|00 _|00|53|73|0000000 | 1x - | 0|00|17|89|00 _|00|35|84|0000000 | 89500000 | |
| 0|00|17|91|00 _|00|35|84|0000000 | 1x - | 0|00|17|91|00 _|00|17|93|0000000 | 89600000 | |
| 0|00|17|93|00 _|00|17|93|0000000 | 1x - | 0|00|17|93|00 _|00|00|00|0000000 | 89700000 | |
| Ergebnis | √804609 = 897 | |||
Die Zahl im Rechenwerk wurde komplett nach 0 aufgelöst, d.h. die Quadratwurzel konnte ohne Rest vollständig berechnet werden.
Aufgabe 10
| Es soll die Quadratwurzel √2 berechnet werden. | ||||
| Schlitten | Einstellung | Kurbel | Resultat | UZW |
| |EW |RW | 2|00000000 000000|0000000 | 1x + | 2|00000000 2|000000000000 | 00010000 löschen! |
| →| | 000|1|00000 ___|2|000000000000 | 1x - | 000|1|00000 ___|1|000000000000 | 1|0000000 |
| 1 · 20 + 1 = 21 | ||||
| ←1 | 000|21|0000 __1|00|0000000000 | 1x - | 000|21|0000 __0|79|0000000000 | 1|1000000 |
| 000|23|0000 __0|79|0000000000 | 1x - | 000|23|0000 __0|56|0000000000 | 1|2000000 | |
| 000|25|0000 __0|56|0000000000 | 1x - | 000|25|0000 __0|31|0000000000 | 1|3000000 | |
| 000|27|0000 __0|31|0000000000 | 1x - | 000|27|0000 __0|04|0000000000 | 1|4000000 | |
| 14 · 20 + 1 = 281 | ||||
| ←1 | 00|02|81|000 _0|04|00|00000000 | 1x - | 00|02|81|000 _0|01|19|00000000 | 1|4100000 |
| 141 · 20 + 1 = 2821 | ||||
| ←1 | 000|28|21|00 001|19|00|000000 | 1x - | 000|28|21|00 000|90|79|000000 | 1|4110000 |
| 000|28|23|00 000|90|79|000000 | 1x - | 000|28|23|00 000|62|56|000000 | 1|4120000 | |
| 000|28|25|00 000|62|56|000000 | 1x - | 000|28|25|00 000|34|31|000000 | 1|4130000 | |
| 000|28|27|00 000|34|31|000000 | 1x - | 000|28|27|00 000|06|04|000000 | 1|4140000 | |
| 1414 · 20 + 1 = 28281 | ||||
| ←1 | _0002|82|81|0 00006|04|00|0000 | 1x - | _0002|82|81|0 00003|21|19|0000 | 1|4141000 |
| _0002|82|83|0 00003|21|19|0000 | 1x - | _0002|82|83|0 00000|38|36|0000 | 1|4142000 | |
| 14142 · 20 + 1 = 282841 | ||||
| ←1 | __000|28|28|41| 00000|38|36|00|00 | 1x - | __000|28|28|41| 00000|10|07|59|00 | 1|4142100 |
| 141421 · 20 + 1 = 2828421
Die errechnete nächste ungerade Zahl können wir nicht mehr vollständig in das Einstellwerk eintragen, da das Einstellwerk hinten eine Stelle zu wenig hat. Ab hier müssen wir vom Verfahren etwas abweichen und nur mit dem vorderen Teil der jeweils errechneten Ziffernfolge weiterrechnen, soweit er sich in das Einstellwerk eintragen lässt. | ||||
| ←1 | ___00|02|82|84|2 00000|10|07|59|00 | 1x - | ___00|02|82|84|2 00000|07|24|74|80 | 1|4142110 |
| ___00|02|82|84|2 00000|07|24|74|80 | 1x - | ___00|02|82|84|2 00000|04|41|90|60 | 1|4142120 | |
| ___00|02|82|84|2 00000|04|41|90|60 | 1x - | ___00|02|82|84|2 00000|01|59|06|40 | 1|4142130 | |
| 1414213 · 20 + 1 = 28284261 | ||||
| ←1 | ____000|28|28|42 0000001|59|06|40 | 1x - | ____000|28|28|42 0000001|30|77|98 | 1|4142131 |
| ____000|28|28|42 0000001|30|77|98 | 1x - | ____000|28|28|42 0000001|02|49|56 | 1|4142132 | |
| ____000|28|28|42 0000001|02|49|56 | 1x - | ____000|28|28|42 0000000|74|21|14 | 1|4142133 | |
| ____000|28|28|42 0000000|74|21|14 | 1x - | ____000|28|28|42 0000000|45|92|72 | 1|4142134 | |
| ____000|28|28|42 0000000|45|92|72 | 1x - | ____000|28|28|42 0000000|17|64|30 | 1|4142135 | |
| Ergebnis | √2 = 1,4142135... | |||
Bei der Berechnung von √2 bleibt ein Rest. Die echte Zahl ist etwas größer als das errechnete Ergebnis.
Für √200 gilt: √200 = 10 · √2 = 14,142135...
Für √200 gilt: √200 = 10 · √2 = 14,142135...
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