[Computing] [Mechanische Rechenmaschinen]

Rechnen mit mechanischen Rechenmaschinen

In dieser Anleitung wird beschrieben, wie mit mechanischen Rechenmaschinen des Odhner-Systems gerechnet werden kann.
Hierzu zählen nicht nur die Original-Odhner-Maschinen, sondern z.B. auch Brunsviga-Rechenmaschinen der Modelle A, B, C, D, E, F, M, MA, MB und MD; sowie auch Maschinen zahlreicher anderer Hersteller.

Bauteile der Rechenmaschine

Brunsviga Modell B (1902)

Kapazität der Rechenmaschine

Unter Kapazität der Rechenmaschine versteht man das Zahlenverhältnis der Stellenanzahlen des Einstellwerks, Rechenwerks und des Umdrehungszählwerks.

Die Kapazität wird in der Form EW x RW x UZW angegeben.
 
Die oben abgebildete Brunsviga Modell B hat die Kapazität 9 x 13 x 8.

Erläuterung der Rechenoperationen

Kurbel

KurbelBedeutung
1x +Kurbel einmal im Uhrzeigersinn drehen (Addition)
1x -Kurbel einmal gegen den Uhrzeigersinn drehen (Subtraktion)

Rechenwerk-Schlitten

SchlittenBedeutung
←1Schlitten eine Position nach links verschieben
1→Schlitten eine Position nach rechts verschieben
|←Schlitten ganz nach links fahren (Grundposition)
→|Schlitten ganz nach rechts fahren
|EW
|RW
Einstellwerk und Rechenwerk linksbündig übereinander ausrichten

Addition

Aufgabe 1

Es soll die Summe
75.384 + 6.278 + 9.507
berechnet werden.
SchlittenEinstellwerkKurbelRechenwerkUZW
(links)000075.3841x +0000000075.38400000001
 000006.2781x +0000000081.66200000002
 000009.5071x +0000000091.16900000003
Ergebnis:91.169

Aufgabe 2

Es soll die Summe
1521,16 + 3,5469 + 819,3 + 15,453 + 6875,82974
berechnet werden.
SchlittenEinstellwerkKurbelRechenwerkUZW
(links)1521,160001x +00001.521,1600000000001
 0003,546901x +00001.524,7069000000002
 0819,300001x +00002.344,0069000000003
 0015,453001x +00002.359,4599000000004
 6875,829741x +00009.235,2896400000005
Ergebnis:9.235,28964

Subtraktion

Aufgabe 3

Es soll die Differenz
2.765.930 - 2.748.693
berechnet werden.
SchlittenEinstellwerkKurbelRechenwerkUZW
(links)0027659301x +0000002765.93000000001
 0027486931x -0000000017.23700000000
Ergebnis:17.237

Multiplikation

Aufgabe 4

Es soll das Produkt
3600 x 24 x 365
berechnet werden.
SchlittenEinstellwerkKurbelRechenwerkUZW
(links)0000036004x +0000000014.40000000004
1→0000036002x +0000000086.40000000024
←links000086400(-)löschenlöschen
(links)0000864005x +0000000.432.00000000005
1→0000864006x +0000005.616.00000000065
1→0000864003x +0000031.536.00000000365
Ergebnis:31.536.000 (Sekunden pro Jahr)

Aufgabe 5

Es soll das Produkt
187 x 4,689
berechnet werden.
SchlittenEinstellwerkKurbelRechenwerkUZW
(links)000004,6897x +0000000032,82300000007
1→000004,6898x +0000000407,94300000087
1→000004,6891x +0000000876,84300000187
Ergebnis:876,843

Aufgabe 6

Es soll das Produkt
521,735 x 0,25
berechnet werden.
SchlittenEinstellwerkKurbelRechenwerkUZW
(links)000521,7355x +00000026,0867500000005
1→000521,7352x +00000130,4337500000025
Ergebnis:130,43375
Die beiden multiplizierten Zahlen haben zusammen 5 Nachkommastellen.
Deshalb hat auch das Ergebnis 5 Nachkommastellen.

Division

Bei der Division wird zunächst der Dividend linksbündig im Rechenwerk eingestellt und dann der Divisor im Einstellwerk eingetragen und zwar an der Stelle, wo er kleiner oder gleich der entsprechenden führenden Stellen im Rechenwerk ist. Dann wird der Dividend im Rechenwerk Stelle für Stelle ausgelöscht, solange bis die aktuelle Stelle kleiner als der Divisor ist. Dann wird der Schlitten eins nach links verschoben und in der gleichen Weise mit der nächsten Dezimalstelle weiterverfahren. Zum Schluss steht das Ergebnis der Division im Umdrehungszählwerk.

Aufgabe 7

Es soll die Division 277204 : 37 berechnet werden.
SchlittenEinstellungKurbelResultatUZW
|←alles löschen ____000000000
0000000000000

00000000
4→277204|000
000000|0000000
1x +277204|000
277204|0000000

00010000
löschen!
3→000037000|
___277204|0000000
7x –000037000|
___018204|0000000

70000000
←100003700|0
__018204|0000000
4x –00003700|0
__003404|0000000

74000000
←10000370|00
_003404|0000000
9x –0000370|00
_000074|0000000

74900000
←1000037|000
000074|0000000
2x –000037|000
000000|0000000

74920000
Ergebnis277204 : 37 = 7492

Aufgabe 8

Es soll die Division 254 : 19 berechnet werden.
SchlittenEinstellungKurbelResultatUZW
|EW
|RW
254000000
0000000000000
1x +254000000
2540000000000

00010000
löschen!
→|000190000
___2540000000000
1x -000190000
___0640000000000

10000000
←1000190000
__0640000000000
1x -000190000
__0450000000000

11000000
 000190000
__0450000000000
1x -000190000
__0260000000000

12000000
 000190000
__0260000000000
1x -000190000
__0070000000000

13000000
←1000190000
_0070000000000
1x -000190000
_0051000000000

13100000
 000190000
_0051000000000
1x -000190000
_0032000000000

13200000
 000190000
_0032000000000
1x -000190000
_0013000000000

13300000
←1000190000
0013000000000
1x -000190000
0011100000000

13310000
 000190000
0011100000000
1x -000190000
0009200000000

13320000
 000190000
0009200000000
1x -000190000
0007300000000

13330000
 000190000
0007300000000
1x -000190000
0005400000000

13340000
 000190000
0005400000000
1x -000190000
0003500000000

13350000
 000190000
0003500000000
1x -000190000
0001600000000

13360000
←1_000190000
0001600000000
1x -_000190000
0001410000000

13361000
 _000190000
0001410000000
1x -_000190000
0001220000000

13362000
 _000190000
0001220000000
1x -_000190000
0001030000000

13363000
 _000190000
0001030000000
1x -_000190000
0000840000000

13364000
 _000190000
0000840000000
1x -_000190000
0000650000000

13365000
 _000190000
0000650000000
1x -_000190000
0000460000000

13366000
 _000190000
0000460000000
1x -_000190000
0000270000000

13367000
 _000190000
0000270000000
1x -_000190000
0000080000000

13368000
←1__000190000
0000080000000
1x -__000190000
0000061000000

13368100
 __000190000
0000061000000
1x -__000190000
0000042000000

13368200
 __000190000
0000042000000
1x -__000190000
0000023000000

13368300
 __000190000
0000023000000
1x -__000190000
0000004000000

13368400
←1___000190000
0000004000000
1x -___000190000
0000002100000

13368410
 ___000190000
0000002100000
1x -___000190000
0000000200000

13368420
←1____000190000
0000000200000
1x -____000190000
0000000010000

13368421
Ergebnis254 : 19 = 13,368421

Quadratwurzel berechnen (Toeplersches Verfahren)

Quadratwurzeln können auf mechanischen Rechenmaschinen des Systems Odhner mit dem Toeplerschen Verfahren berechnet werden, das August Toepler (1836–1912) speziell für mechanische Rechenmaschinen entwickelt hat.

Dieses Verfahren beruht darauf, dass sich jede ganzzahlige Quadratzahl als Summe ungerader Zahlen berechnen lässt:
1² = 1
2² = 1 + 3 = 4 = 2 · 2
3² = 1 + 3 + 5 = (1 + 5) + 3 = 6 + 3 = 2 · 3 + 3 = 3 · 3
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 7) + (3 + 5) = 2 · 8 = 4 · 4
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 9) + (3 + 7) + 5 = 2 · 10 + 5 = 4 · 5 + 5 = 5 · 5
Für das Verfahren ist auch wichtig, dass je zwei Stellen der Quadratzahl je einer Stelle der Grundzahl entsprechen, denn
10² = 100
√100 = 10
Aus diesem Grund wird die aufzulösende Quadratzahl in Zweiergruppen von Ziffern aufgeteilt. Jede Zweiergruppe entspricht einer Stelle der Grundzahl. Dabei ist entscheidend, dass die Aufteilung in Zifferngruppen von rechts her vorgenommen wird. Das heißt, bei einer ungeraden Anzahl Stellen steht die vorderste Ziffer alleine:
√804609  →  80|46|09
√2  →  2
√20  →  20
√200  →  2|00
√2000  →  20|00
√200 ergibt die gleiche Ziffernfolge wie √2, lediglich um eine Stelle versetzt.
Ebenso ergibt √2000 die gleiche Ziffernfolge wie √20, auch um eine Stelle versetzt.
√2 und √20 ergeben dagegen völlig unterschiedliche Ziffernfolgen:
√2 = 1,41421356237
√200 = 10 · √2 = 14,1421356237
√20 = 4,472135955
√2000 = 10 · √20 = 44,72135955
Beim Toeplerschen Verfahren wird jede Zifferngruppe schrittweise durch Subtraktion der nächsten anstehenden ungeraden Zahl schrittweise ausgelöscht, bis die nächste anstehende ungerade Zahl größer als der verbliebene Rest der aktuellen Stelle ist. Wenn dann noch ein Rest übrig ist, wird die bisher gefundene Ergebnisziffernfolge mit 20 multipliziert und 1 dazu gezählt, was die erste ungerade Zahl zur Auslöschung der nächsten Zifferngruppe ergibt.
Das ganze hört sich schwieriger an, als es tatsächlich ist, wie die folgenden Beispiele zeigen.
Mit einiger Übung lässt es sich recht schnell und sicher auf einer mechanischen Rechenmaschine durchführen
(siehe auch im Video unten).

Aufgabe 9

Es soll die Quadratwurzel √804609 berechnet werden.
SchlittenEinstellungKurbelResultatUZW
|EW
|RW
804609|000
000000|0000000
1x +804609|000
804609|0000000

00010000
löschen!
→|000|01|00|00|
___|80|46|09|0000000
1x -000|01|00|00|
___|79|46|09|0000000

10000000
 000|03|00|00|
___|79|46|09|0000000
1x -000|03|00|00|
___|76|46|09|0000000

20000000
 000|05|00|00|
___|76|46|09|0000000
1x -000|05|00|00|
___|71|46|09|0000000

30000000
 000|07|00|00|
___|71|46|09|0000000
1x -000|07|00|00|
___|64|46|09|0000000

40000000
 000|09|00|00|
___|64|46|09|0000000
1x -000|09|00|00|
___|55|46|09|0000000

50000000
 000|11|00|00|
___|55|46|09|0000000
1x -000|11|00|00|
___|44|46|09|0000000

60000000
 000|13|00|00|
___|44|46|09|0000000
1x -000|13|00|00|
___|31|46|09|0000000

70000000
 000|15|00|00|
___|31|46|09|0000000
1x -000|15|00|00|
___|16|46|09|0000000

80000000
Die nächste Zahl 17 wäre größer als die 16 im Rechenwerk. Deshalb ist die erste Dezimalstelle fertig berechnet.
Die Zahl 8 im Zählwerk mit 20 multiplizieren und 1 dazuzählen:
8 · 20 + 1 = 161
im Einstellwerk einstellen und dann den Schlitten eine Position nach links verschieben
SchlittenEinstellungKurbelResultatUZW
←100|01|61|00|0
__|16|46|09|0000000
1x -00|01|61|00|0
__|14|85|09|0000000

81000000
 00|01|63|00|0
__|14|85|09|0000000
1x -00|01|63|00|0
__|13|22|09|0000000

82000000
 00|01|65|00|0
__|13|22|09|0000000
1x -00|01|65|00|0
__|11|57|09|0000000

83000000
 00|01|67|00|0
__|11|57|09|0000000
1x -00|01|67|00|0
__|09|90|09|0000000

84000000
 00|01|69|00|0
__|09|90|09|0000000
1x -00|01|69|00|0
__|08|21|09|0000000

85000000
 00|01|71|00|0
__|08|21|09|0000000
1x -00|01|71|00|0
__|06|50|09|0000000

86000000
 00|01|73|00|0
__|06|50|09|0000000
1x -00|01|73|00|0
__|04|77|09|0000000

87000000
 00|01|75|00|0
__|04|77|09|0000000
1x -00|01|75|00|0
__|03|02|09|0000000

88000000
 00|01|77|00|0
__|03|02|09|0000000
1x -00|01|77|00|0
__|01|25|09|0000000

89000000
Die nächste Zahl 179 wäre größer als die 125 im Rechenwerk. Die zweite Stelle ist jetzt fertig berechnet.
Die Zahl 89 im Zählwerk mit 20 multiplizieren und 1 dazuzählen:
89 · 20 + 1 = 1781
im Einstellwerk einstellen und dann den Schlitten eine Position nach links verschieben
SchlittenEinstellungKurbelResultatUZW
 0|00|17|81|00
_|01|25|09|0000000
1x -0|00|17|81|00
_|01|07|28|0000000

89100000
 0|00|17|83|00
_|01|07|28|0000000
1x -0|00|17|83|00
_|00|89|45|0000000

89200000
 0|00|17|85|00
_|00|89|45|0000000
1x -0|00|17|85|00
_|00|71|60|0000000

89300000
 0|00|17|87|00
_|00|71|60|0000000
1x -0|00|17|87|00
_|00|53|73|0000000

89400000
 0|00|17|89|00
_|00|53|73|0000000
1x -0|00|17|89|00
_|00|35|84|0000000

89500000
 0|00|17|91|00
_|00|35|84|0000000
1x -0|00|17|91|00
_|00|17|93|0000000

89600000
 0|00|17|93|00
_|00|17|93|0000000
1x -0|00|17|93|00
_|00|00|00|0000000

89700000
Ergebnis√804609 = 897
Die Zahl im Rechenwerk wurde komplett nach 0 aufgelöst, d.h. die Quadratwurzel konnte ohne Rest vollständig berechnet werden.

Aufgabe 10

Es soll die Quadratwurzel √2 berechnet werden.
SchlittenEinstellungKurbelResultatUZW
|EW
|RW
2|00000000
000000|0000000
1x +2|00000000
2|000000000000

00010000
löschen!
→|000|1|00000
___|2|000000000000
1x -000|1|00000
___|1|000000000000

1|0000000
 1 · 20 + 1 = 21
←1000|21|0000
__1|00|0000000000
1x -000|21|0000
__0|79|0000000000

1|1000000
 000|23|0000
__0|79|0000000000
1x -000|23|0000
__0|56|0000000000

1|2000000
 000|25|0000
__0|56|0000000000
1x -000|25|0000
__0|31|0000000000

1|3000000
 000|27|0000
__0|31|0000000000
1x -000|27|0000
__0|04|0000000000

1|4000000
 14 · 20 + 1 = 281
←100|02|81|000
_0|04|00|00000000
1x -00|02|81|000
_0|01|19|00000000

1|4100000
 141 · 20 + 1 = 2821
←1000|28|21|00
001|19|00|000000
1x -000|28|21|00
000|90|79|000000

1|4110000
 000|28|23|00
000|90|79|000000
1x -000|28|23|00
000|62|56|000000

1|4120000
 000|28|25|00
000|62|56|000000
1x -000|28|25|00
000|34|31|000000

1|4130000
 000|28|27|00
000|34|31|000000
1x -000|28|27|00
000|06|04|000000

1|4140000
 1414 · 20 + 1 = 28281
←1_0002|82|81|0
00006|04|00|0000
1x -_0002|82|81|0
00003|21|19|0000

1|4141000
 _0002|82|83|0
00003|21|19|0000
1x -_0002|82|83|0
00000|38|36|0000

1|4142000
 14142 · 20 + 1 = 282841
←1__000|28|28|41|
00000|38|36|00|00
1x -__000|28|28|41|
00000|10|07|59|00

1|4142100
 141421 · 20 + 1 = 2828421
Die errechnete nächste ungerade Zahl können wir nicht mehr vollständig in das Einstellwerk eintragen, da das Einstellwerk hinten eine Stelle zu wenig hat. Ab hier müssen wir vom Verfahren etwas abweichen und nur mit dem vorderen Teil der jeweils errechneten Ziffernfolge weiterrechnen, soweit er sich in das Einstellwerk eintragen lässt.
←1___00|02|82|84|2
00000|10|07|59|00
1x -___00|02|82|84|2
00000|07|24|74|80

1|4142110
 ___00|02|82|84|2
00000|07|24|74|80
1x -___00|02|82|84|2
00000|04|41|90|60

1|4142120
 ___00|02|82|84|2
00000|04|41|90|60
1x -___00|02|82|84|2
00000|01|59|06|40

1|4142130
 1414213 · 20 + 1 = 28284261
←1____000|28|28|42
0000001|59|06|40
1x -____000|28|28|42
0000001|30|77|98

1|4142131
 ____000|28|28|42
0000001|30|77|98
1x -____000|28|28|42
0000001|02|49|56

1|4142132
 ____000|28|28|42
0000001|02|49|56
1x -____000|28|28|42
0000000|74|21|14

1|4142133
 ____000|28|28|42
0000000|74|21|14
1x -____000|28|28|42
0000000|45|92|72

1|4142134
 ____000|28|28|42
0000000|45|92|72
1x -____000|28|28|42
0000000|17|64|30

1|4142135
Ergebnis√2 = 1,4142135...
Bei der Berechnung von √2 bleibt ein Rest. Die echte Zahl ist etwas größer als das errechnete Ergebnis.
Für √200 gilt: √200 = 10 · √2 = 14,142135...

Videos

Brunsviga B (1902) – Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Quadratwurzel

Im Video werden die Addition mit automatischem Zehnerübertrag, Subtraktion, Multiplikation, Ganzzahldivision, Fließkommadivision und das Berechnen einer Quadratwurzel gezeigt.

Quadratwurzel 804609 mit einer mechanischen Rechenmaschine berechnen

Im Video wird gezeigt, wie man mit Toeplers Verfahren die Quadratwurzel 804609 auf einer mechanischen Rechenmaschine berechnen kann.






https://mastodon.world/@jpuhle